December 14th, 2012

Почему E равно mc2 (часть 1-я)

Сочинение это - для тех, кто:
* знает правило сложения скоростей в теории относительности,
* знает производные и интегралы,
* и при этом никуда не торопится!
Потому что дальше будет длинная история в трёх частях, которая ведёт к тому, что и так все знают, - к формуле E=mc2.

А дело в том, что человек, желающий разобраться в (специальной) теории относительности, примерно на середине пути натыкается на некий барьер - как раз на границе между кинематикой и механикой. И я попытаюсь сейчас этот барьер сгладить.

Как устроено стандартное изложение теории относительности в учебниках? Берут два простых и понятных ингредиента - принцип относительности и постоянство скорости света - соединяют их вместе и начинают плавно помешивать:-) В результате по очереди выплывают разные следствия: одновременность событий оказывается зависящей от наблюдателя, ход движущихся часов замедляется, размеры движущихся предметов сокращаются. Потом появляются преобразования Лоренца, закон сложения скоростей, эффект Доплера, невозможность разогнаться быстрее света и так далее. Всё это хорошо и более-менее понятно, и называется релятивистской кинематикой.

А потом плавный ход мысли вдруг подпрыгивает на кочке! Оказывается, что для дальнейшего продвижения недостаточно упомянутых ингредиентов. И тут в ход идут разные "эзотерические" знания. Например, сам Эйнштейн использовал правила преобразования электрического и магнитного полей. Ландау с Лифшицем опираются на принцип наименьшего действия.

А нельзя ли всё же двинуться дальше, не привлекая каких-то посторонних знаний? и понять, например, происхождение (и смысл!) формулы E=mc2, опираясь только на два основополагающих принципа (принцип относительности и постоянство скорости света)?

Ну понятно, что совсем без ничего нового не обойтись. Ведь E=mc2 - это про энергию, значит нужно что-то про энергию знать. Нам понадобится закон сохранения энергии и то, что в обычной механике (т.е. при малых скоростях) кинетическая энергия равна mv2/2. А заодно и аналогичные знания про импульс: закон его сохранения и то, что при малых скоростях импульс равен mv. (Зарезать импульс бритвой Оккама не получится - ведь энергия и импульс всегда ходят парой:-)

План действий будет такой:
1. Получим формулу для импульса p=gamma m v.
2. Получим формулу для кинетической энергии 01_p_gmv.
3. И наконец, используя п. 1 и 2, найдём, что энергия покоя равна 03_mc2.

(Буква 04_gamma здесь обозначает 05_gamma_def, как это принято в теории относительности. Жирным шрифтом помечены векторные величины.)

Сегодня мы разберёмся с импульсом. Collapse )

(Продолжение следует...)