nenashev (nenashev) wrote in physicists,
nenashev
nenashev
physicists

Category:

Почему E равно mc2 (часть 1-я)

Сочинение это - для тех, кто:
* знает правило сложения скоростей в теории относительности,
* знает производные и интегралы,
* и при этом никуда не торопится!
Потому что дальше будет длинная история в трёх частях, которая ведёт к тому, что и так все знают, - к формуле E=mc2.

А дело в том, что человек, желающий разобраться в (специальной) теории относительности, примерно на середине пути натыкается на некий барьер - как раз на границе между кинематикой и механикой. И я попытаюсь сейчас этот барьер сгладить.

Как устроено стандартное изложение теории относительности в учебниках? Берут два простых и понятных ингредиента - принцип относительности и постоянство скорости света - соединяют их вместе и начинают плавно помешивать:-) В результате по очереди выплывают разные следствия: одновременность событий оказывается зависящей от наблюдателя, ход движущихся часов замедляется, размеры движущихся предметов сокращаются. Потом появляются преобразования Лоренца, закон сложения скоростей, эффект Доплера, невозможность разогнаться быстрее света и так далее. Всё это хорошо и более-менее понятно, и называется релятивистской кинематикой.

А потом плавный ход мысли вдруг подпрыгивает на кочке! Оказывается, что для дальнейшего продвижения недостаточно упомянутых ингредиентов. И тут в ход идут разные "эзотерические" знания. Например, сам Эйнштейн использовал правила преобразования электрического и магнитного полей. Ландау с Лифшицем опираются на принцип наименьшего действия.

А нельзя ли всё же двинуться дальше, не привлекая каких-то посторонних знаний? и понять, например, происхождение (и смысл!) формулы E=mc2, опираясь только на два основополагающих принципа (принцип относительности и постоянство скорости света)?

Ну понятно, что совсем без ничего нового не обойтись. Ведь E=mc2 - это про энергию, значит нужно что-то про энергию знать. Нам понадобится закон сохранения энергии и то, что в обычной механике (т.е. при малых скоростях) кинетическая энергия равна mv2/2. А заодно и аналогичные знания про импульс: закон его сохранения и то, что при малых скоростях импульс равен mv. (Зарезать импульс бритвой Оккама не получится - ведь энергия и импульс всегда ходят парой:-)

План действий будет такой:
1. Получим формулу для импульса p=gamma m v.
2. Получим формулу для кинетической энергии 01_p_gmv.
3. И наконец, используя п. 1 и 2, найдём, что энергия покоя равна 03_mc2.

(Буква 04_gamma здесь обозначает 05_gamma_def, как это принято в теории относительности. Жирным шрифтом помечены векторные величины.)

Сегодня мы разберёмся с импульсом. 

Лучшее средство для понимания теории относительности - это мысленные эксперименты. Вот мы и разберём сейчас такой эксперимент: две одинаковые частицы летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями 06_v  сталкиваются и разлетаются в противоположные стороны, но уже в другом направлении. Пусть, например, они летели навстречу друг другу вдоль оси x, а разбежались вдоль оси y:

risunok1

Рис. 1

Столкновение считаем упругим, т.е. нет потери энергии, и частицы остаются теми же самыми. Понятно, что скорость каждой частицы после удара останется той же самой (v), только направление её изменится. Законы сохранения энергии и импульса в этом случае, очевидно, выполняются - суммарный импульс как был нулевым, так и остался, и суммарная энергия двух частиц какой была, такой и осталась.

А будет ли закон сохранения импульса выполняться в другой системе отсчёта? Давайте проверим это! Для этого нам и понадобится правило сложения скоростей.

Вспомним его. Пусть имеются две системы отсчёта - одна "штрихованная" (т.е. все величины в этой системе будем отмечать штрихами), другая "нештрихованная". Пусть штрихованная летит относительно нештрихованной в направлении оси x со скоростью V. Тогда связь между "штрихованной" скоростью частицы 07_vprime и "нештрихованной" скоростью 08_v выглядит так:
add_v_x  add_v_y  add_v_z
Это и есть правило сложения скоростей в теории относительности.

Теперь, ту систему отсчёта, которая была на рис. 1, объявим "штрихованной". И совершим переход в "нештрихованную" систему, применяя правило сложения скоростей:

risunok2arisunok2b

Рис. 2

Здесь v1 и v2 - скорости частиц до столкновения, v3 и v4 - после столкновения. В скобках даны x- и y-проекции скоростей. (z-проекции нас не волнуют, т.к. равны нулю.)

Что мы видим в новой (нештрихованной) системе отсчёта? Во-первых, сумма величин mv не сохраняется при столкновении:
10_mv_dont_conserve.
(Здесь m - масса каждой из частиц.) Чтобы убедиться в этом, вычтем из левой части правую. Достаточно рассмотреть только x-проекции:
11_big_mv_2 
= (немного алгебры) =

 12_big_mv_3

Это значит, что в теории относительности импульс частицы - это не произведение массы на скорость. Иначе импульс бы не сохранялся при столкновениях.

А чему же тогда равен импульс? Поскольку это характеристика движения тела, то он должен зависеть от скорости. Направление импульса совпадает с направлением скорости (а куда же ещё он может быть направлен?). А модуль импульса есть некая функция (неизвестная пока) от модуля скорости: 13_p_v. (Для разных частиц эта функция, конечно, может быть разной, но у нас-то все частицы одинаковые.) Тогда проекции импульса будут равны
px_py_pz
причём модуль v вычисляется по теореме Пифагора: 15_module_v.

Чтобы найти неизвестную функцию p(v), надо воспользоваться сохранением импульса при столкновении:

p1 + p2 = p3 + p4.

Мы рассмотрим это равенство в проекции на ось x (проекции на y и z не интересны, там получается 0 = 0):

p1x + p2x = p3x + p4x.

Запишем сначала по отдельности, чему равны p1x...p4x, а потом подставим их в это равенство:

16_p1x 
(p1x = p1, потому что скорость v1 как раз направлена по x),

17_p2x 
(мы считаем для определённости, что V меньше v, тогда скорость v2 направлена противоположно оси x - отсюда p2x = -p2),

18_p3x

и p4x = p3x.

Подставим это всё в равенство p1x + p2x = p3x + p4x:

main_eq_1 
main_eq_2 (1)

Это и есть уравнение для неизвестной функции 20_p_v. Оно должно удовлетворяться для всех v и V.

-----------------------------------

На этом, собственно, заканчивается физика, дальше - математика. Потому что теперь это уравнение надо как-то решать. Причём школьной алгебры здесь явно недостаточно.

А мы разложим это уравнение в ряд Тейлора по V в точке V=0. Сначала проделаем это по отдельности со слагаемыми в (1):

21_p1_tailor
(многоточие - это следующие члены ряда - с V2, V3 и т. д., которые нас интересовать не будут),

22_p2_tailor

23_p3_tailor

Теперь собираем эти разложенные в ряд слагаемые вместе, и получаем вот что:

24_main_eq_tailor

Выбрасываем многоточия (как бесконечно малые высшего порядка), сокращаем на 2V и записываем производную p'(v) как dp/dv:

27_matan1

собираем в левую часть всё относящееся к p, а в правую - относящееся к v:

28_matan2

интегрируем:

29_matan3

и берём экспоненту от обеих частей:

30_matan4

Осталось понять, чему же равно const. Здесь-то и пригодится школьная формула p=mv, приближённо верная для малых скоростей. Если скорость v мала по сравнению со скоростью света c, то 31_approx1  то есть 32_p_approx.  Отсюда ясно, что const просто равно m - массе частицы.

Итак, мы выяснили, что 33_p_answer1, т.е. 34_p_answer2, или в векторном виде:

35_p_answer3.

------------------

Всё, с импульсом разобрались - полдела сделано.

В следующий раз тем же способом найдём кинетическую энергию.




(Продолжение следует...)
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 23 comments